Boltanspiel und Wahrscheinlichkeiten

[Björn]

So, ich bin ein bißchen weiter. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei 5 Karten auf der Hand die Anzahl der Bildkarten exakt = j ist berechnet sich wie folgt:

b Anzahl Bildkarten hier 30, z Anzahl Zahlkarten hier 42, n Anzahl Spielkarten hier 71, k Anzahl Karten auf der Hand hier 5, j gewünschte Anzahl Bildkarten nicht mehr und nicht weniger

P(X=j) = [(b über j) * (z über k-j)] / (n über k)

Für j = 5 ist P(X=j) = 1,02% (Gegenprobe positiv 0,0102... * (72 über 5) = 142506 und das ist die von Volker berechnete Anzahl von Hofhänden)

Wenn man jetzt für alle j weiter rechnet und die Wahrscheinlichkeiten der Hände mit j Bildern mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multipliziert, daraus nach einem Tausch mindestens einen Hof zu machen und dann die prozentualen Anteile dieser Starthand bzw. Hand-nach-Tausch-Blätter an allen möglichen Boltanhänden addiert, hat man (hoffentlich) die Wahrscheinlichkeit beim 5-Cards-Draw-Boltan mindestens einen Hof zu erhalten. Man könnte dann noch die Bilder-Familien, Bildervierlinge, Paraden, Fünflinge und Hofstaaten abziehen.

Aber wie berechnet man die Anzahl aller möglichen Boltanhände nach dem Ziehen?

Ich höre jetzt auf... aber nur für heute

[VolkoV]

Die Anzahl aller möglichen Hände (ohne Reihenfolge) ist (72ü5). Wenn Du jetzt tauscht, musst Du eigentlich Dein Wissen über den Reststapel in die Berechnung mit einziehen. Da ist es am "einfachsten", alle Hände mit Beachtung der Reihenfolge zu betrachten: Das wäre dann k!*(72ük) bzw. 72!/(72-k)!. Für k wählt man die insgesamt ausgesuchten Karten, also bei 5 Karten und 4 getauschten sind es dann 9.

[VolkoV]

So, ich habe das Computerprogramm zum Auszählen nochmal geschrieben, diesmal wurde immer nur die höchste Kombination gezählt. Leider sind die Werte ähnlich aber nicht ineinander überführbar. Ob mein Fehler in den Werten weiter oben oder hier liegt, vermag ich nicht zu sagen.

• Nix: 4.822.560
  
• Zwilling: 5.292.000
  
• Dschinn: 2.181.600
  
• Doppelzwilling: 850.500
  
• Drilling: 453.600
  
• Elementarherr: 177.000
  
• Hof: 126.900
  
• Familie: 39.600
  
• Gasse: 23.310
  
• Vierlinge: 11.880
  
• Parade: 7.770
  
• Elementarkreis: 4.746
  
• Fünflinge: 66
  
• Hofstaat: 6
  
• Fünfass: 6
  

[VolkoV]

Eigentlich müsste man nach diesem Ergebnis den Zwilling als niedrigste Kombination wählen, aber das geht mir irgendwie gegen den Strich. Es ist leichter "nur" zwei gleichwertige Karten zu bekommen als keine der Boltanhände...

[VolkoV]

Ausgehend von den o.g. neuen Zahlen habe ich mal die Wahrscheinlichkeit abgeschätzt, dass mindestens ein Mitspieler eine höhere Boltanhand hat in Abhängigkeit der Anzahl der Mitspieler am Tisch. Das Ergebnis findet sich im Anhang.

Das Modell geht allerdings vereinfachend davon aus, jeder würde von einem "frischen" Boltandeck seine Karten ziehen, die Informationen über die eigene Kartenhand ist also ebensowenig eingeflossen, wie eventuell geschickte Tauschversuch, es ist also dort theoretisch möglich, dass zwei Spieler ein Fünfass haben. Trotzdem dürften die Größenordnungen ungefähr stimmen.

Ebenfalls nicht einbezogen ist die Überlegung, ob ein Mitspieler eine gleich hohe Hand mit höheren Werten hat. Hier sollte man als Faustregel für sehr geringe "höchste Werte" (2-4) eine Zeile weiter oben schauen, für sehr hohe "höchste Werte" (M-A) eine Zeile weiter unten.

[VolkoV]

Wer im Übrigen selbst mal ein Programm zum Auszählen der Boltanhände schreiben will, hier ein paar Tipps. Alle boltanhände ohne Beachtung der Reihenfolge bekommt man, in dem man fünf Schleifen verschachtelt:

Code:

for i=0 to 71
  for j=i to 71
   for k=j to 71
    for l=k to 71
     for m=l to 71

Ganz innen in dieser Schleife ruft man nun eine Prozedur auf, die die fünf Karten (i,j,k,l,m) zuerstmal in Werte (Karte div 6) und Elemente (Karte mod 6) umrechnet.

Die beiden fünfelementigen Arrays für Werte und Elemente sortiert man dann unabhängig voneinander. Danach kann man recht einfach die Blätter abprüfen, für den Elementarkreis zB

Code:

if farbe[0]=farbe[4] then

für einen Vierling dann etwas komplexer

Code:

if (wert[0]=wert[3]) or (wert[1]=wert[4]

usw. Eine nette kleine Programmierübung die quasi in jeder vernünftigen Programmiersprache geht, allerdings mit ca. 13 Mio. Blättern auch ein guter Benchmark für die Programmiersprache sein kann.